Question

定义在R上的单调函数满足且对任意都有．

(1)求证为奇函数；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用赋值法证明抽象函数的奇偶性； (2)

【解析】

试题分析：（1）f(x+y)=f(x)+f(y)  ①,令x=y=0，代入①式得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0

(2)＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是单调函数，所以在R上是增函数

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，

∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0

对任意t＞0恒成立．

R恒成立．

考点：本题考查了抽象函数的性质及运用

点评：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。