Question

（本小题满分14分）

已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.

      （i）若，求直线l的倾斜角；

      （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

Answer 1

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.

（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由题意可知，即ab=2.

解方程组得a=2，b=1.

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.

于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得

.

由，得.从而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直线l的倾斜角为或.

（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由，得。

（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。

令，解得。

由，，

，

整理得。故。所以。

综上，或