Question

若函数f（x）=λx+cosx是区间[-

π

6

 ，

π

6

]上的减函数，则λ的取值范围为

(- ∞ ， -

1

2

]

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由f′（x）=λ-sinx≤0在x∈[-

π

6

 ，

π

6

]上恒成立，分离参数λ后求出sinx在[-

π

6

 ，

π

6

]上的最小值可得答案．

解答：解：由f（x）=λx+cosx，得f′（x）=λ-sinx．
若函数f（x）=λx+cosx是区间[-

π

6

 ，

π

6

]上的减函数，
则f′（x）=λ-sinx≤0在x∈[-

π

6

 ，

π

6

]上恒成立，
即λ≤sinx在x∈[-

π

6

 ，

π

6

]上恒成立，
而在x∈[-

π

6

 ，

π

6

]上(sinx)min=-

1

2

．
∴λ的取值范围为(- ∞ ， -

1

2

]．
故答案为(- ∞ ， -

1

2

]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了分离变量法求参数的范围，属基础题．