Question

（2012•台州一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-AD-C的大小为60°，求AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结A₁C交AC₁于点E，利用三角形中位线的性质证明DE∥A₁B，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）找出二面角C₁-AD-C的平面角，作出AB₁与平面ADC₁所成角求出相关线段的长度，即可求得正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连结A₁C交AC₁于点E，则E是A₁C的中点．         …（2分）
连结DE，∵D是BC的中点，∴DE∥A₁B．…（4分）
∵DE?面ADC₁，A₁B?面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．        …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵C₁C⊥面ABC，∴C₁C⊥AD，
∴AD⊥面BCC₁B₁，…（8分）
∴∠C₁DC就是二面角C₁-AD-C的平面角，即∠C₁DC=60°．  …（9分）
∵AD⊥面BCC₁B₁，∴面ADC₁⊥面BCC₁B₁．
过B₁作B₁H⊥C₁D于H，∴B₁H⊥面ADC₁，…（11分）
连结AH，则∠B₁AH就是AB₁与平面ADC₁所成的角．  …（12分）
设CD=1，则C1C=

3

， AB1=

5

，B1H=

3

，
∴sin∠B1AH=

B1H

AB1

=

3

5

=

15

5

，
即AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值为

15

5

． …（14分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角、面面角，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用线面平行的判定定理．