Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

3

2

ax²-（a-3）x+b，
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-

4

3

，求实数a，b的值；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-3ax-（a-3），…．（2分）
函数f（x）在x=-1处取得极值-

4

3

，
则

f′(-1)=1+3a-a+3=0 f(-1)=- 1 3 - 3 2 a+a-3+b=- 4 3

…．（6分）
解得，

a=-2 b=1

．
经检验，当a=-2，b=1时函数f（x）在x=-1处取得极值…（8分）
（2）若a=1，f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²+2x+b，f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）=0，得到x=1或x=2，

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-
f（x）	b- 23 6	↗	极大值 b+ 5 6	↘	b+ 2 3

…..（11分）
由于函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点

f(-1)≤0   f(1)＞0   f(2)≤0

即

b- 23 6 ≤0   b+ 5 6 ＞0   b+ 2 3 ≤0

解得-

5

6

＜b≤-

2

3

…（14分）