题目内容

若点（1，1）在不等式组
m-nx+y≥0
2mx-ny-4≤0
nx≥3y-3m
所表示的平面区域内，则m2+n2的取值范围是
 
．
分析：将点（1，1）的坐标代入不等式组
m-nx+y≥0
2mx-ny-4≤0
nx≥3y-3m
，就可以得到一个关于m、n的不等式组，再在平面直角坐标系中作出符合这个不等式组的区域图形，将m2+n2的取值范围问题转化为区域内的点到原点距离平方的取值范围问题，最终可得答案．
解答：解：根据题意，点（1，1）适合不等式组
m-nx+y≥0
2mx-ny-4≤0
nx≥3y-3m
，
将坐标代入，得关于m、n的不等式组：
m-n+1≥0
2m-n-4≤0
n≥3-3m

在mon坐标系中，作出符合上不等式组表示的平面区域，如下图
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m2+n2 表示点P（m，n）到原点的距离的平方，根据图形得
当P点与点B（5，6）重合时，这个平方和最大，即（m2+n2 ）max=52+62=61
而P到直线AC的距离平方的最小值，即（m2+n2）min=（
|0+0-3|
12+32
）2=
9
10

因此，m2+n2的取值范围是[
9
10
，61]
点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
练习册系列答案
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对于函数f(x)=-
1
4
x4+
2
3
x3+ax2-2x-2，其中a为实常数，已知函数y=f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线与y轴垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（3x）=m有三个不等实根，求实数m的取值范围．
设函数f（x）=x2+2ax-ln（1+x）+1．
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程是x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）当a=
1
2
时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=x2+（2a-
1
2
）x+
1
2
（a+1）在[0，2]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log
3
（x+a）的图象上．
（1）求实数a的值；                （2）解不等式f（x）＜log
3
a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；     （2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
已知a∈R，函数f(x)=
12
ax2-lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
定义在R上的函数y=f（x），对任意不等的实数x1，x2都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＜0成立，又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若不等式f(
x
2
 
-2x)+f(2y-
y
2
 
)≤0成立，则当1≤x＜4时，
y
x
的取值范围是（　　）
A、(-
1
2
，1]
B、（-∞，1]
C、[-
1
2
，1]
D、[-
1
2
，∞)

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