题目内容

已知△ABC的周长为6，且 $数学公式$ ．
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ …（2分）
因为0＜C＜π，所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ …（3分）
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …（5分）
（2）c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（6分）
又c=6-a-b，则a²+b²-ab=（6-a-b）²=36+a²+b²-12a-12b+2ab（7分）
整理可得，4（a+b）=12+ab…（8分）
$\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ …（9分）
则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，…（10分）
若 $\text{[math]}$ ，则ab≥36，那么4（a+b）=12+ab≥48，即a+b≥12，这与周长为6相矛盾，应舍去，
因此， $\text{[math]}$ ，则ab≤4…（12分）
所以 $\text{[math]}$ …（14分）
当且仅当a=b=c=2时等号成立，
所以，△ABC的面积有最小值为 $\text{[math]}$ …（15分）
分析：（1）先根据三角形内角和为π，把A+B换掉，再结合二倍角公式即可求角C；
（2）先根据周长得到c=6-a-b，再结合余弦定理得到4（a+b）=12+ab；根据基本不等式即可求出ab的取值范围进而得到△ABC面积的最大值．
点评：本题主要考查基本不等式以及余弦定理的应用．解决第二问的关键在于根据周长得到c=6-a-b，再结合余弦定理得到4（a+b）=12+ab．