Question

已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R。
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）。

Answer 1

解：（1）由得
所以
由得
故f（x）的单调递增区间是
由得
故f（x）的单调递减区间是。
（2）由可知是偶函数
于是对任意成立等价于对任意成立
由得
①当时，
此时在上单调递增
故，符合题意
②当时，
当x变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，
依题意
又
∴
综合①，②得，实数k的取值范围是。
（3）∵
∴
∴

由此得
故。