题目内容
在△ABC中，AB=2
，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求cosA的值；
（2）求cos(2A+
)的值．
| 5 |
（1）求cosA的值；
（2）求cos(2A+
| π |
| 4 |
分析：（1）由AB，以及sinC=2sinA，利用正弦定理求出BC的长，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出值；
（2）由A为三角形内角，以及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而求出sin2A与cos2A的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
（2）由A为三角形内角，以及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而求出sin2A与cos2A的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）在△ABC中，AB=2
，sinC=2sinA，
根据正弦定理：
=
，
∴BC=
=
AB=
，
根据余弦定理得：cosA=
=
；
（2）∵A∈（0，π），cosA=
，
∴sinA=
=
，
∴sin2A=2sinAcosA=
，cos2A=cos2A-sin2A=
，
则cos（2A+
）=
（cos2A-sin2A）=-
．
| 5 |
根据正弦定理：
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
∴BC=
| ABsinA |
| sinC |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
根据余弦定理得：cosA=
| AB2+AC2-BC2 |
| 2AB•AC |
2
| ||
| 5 |
（2）∵A∈（0，π），cosA=
2
| ||
| 5 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 5 |
∴sin2A=2sinAcosA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
则cos（2A+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 10 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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