Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPA=45°，∠OPB=60°，则∠OPC的度数为

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   75°

Answer 1

C
分析：根据棱锥的结构特征我们易判断出这是一个有三条棱在P点两两垂直的三棱锥，由已知中O在△ABC内，∠OPA=45°，∠OPB=60°，利用“三余弦”定理，我们易求出∠OPC的余弦值，进而求出∠OPC的度数．
解答：解：已知如图所示：
过O做平面PBC的垂线，
交平面PBC于Q，连接PQ
则∠OPQ=90°-60°=30°．
∵cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB，
得到cos∠QPB=
∵∠QPC是∠QPB的余角，
∴cos∠QPC=
∴cos∠OPC=cos∠OPQ×cos∠QPC，
∴cos∠OPC=
∴∠OPC=60°
故选C
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中利用“三余弦”定理，我们易求出∠OPC的余弦值，是解答本题的关键．