题目内容

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a+a₁+a₂+…+a_n=126，那么

的展开式中的常数项为．

【答案】分析：先把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．
再求出

的展开式中的通项，令x的指数为0求出r，再代入通项公式即可求出

的展开式中的常数项．
解答：解：因为（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1得：2+2²+2³+…+2ⁿ=a+a₁+a₂+…+a_n，
∵a+a₁+a₂+…+a_n=126，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

=126
即2ⁿ⁺¹=128=2⁷．
解得n=6．
所以

的展开式中的通项为：

=（-1）^r3^6-r•C₆^r•

．
令

=0，得r=3．
所以

的展开式中的常数项为：（-1）³•3³•C₆³=-540．
故答案为：-540．
点评：本题主要考查二项式定理的应用以及数列求和公式的应用．解决本题的关键在于把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．这也是本题向下做的前提．

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(－1，2)

(1，4)

(―∞，－1)∪[4，＋∞)

(―∞，－1］∪[2，＋∞)

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C．ex＋y－1－e＝0

D．x－y＝0

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，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间

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