Question

7．已知x∈R，y＞0，集合A={x²+x+1，-x，-x-1}，B={-y，-$\frac{y}{2}$，y+1}，若A=B，则x²+y²的值为5．

Answer 1

分析 根据集合A中元素x²+x+1恒大与0，而集合B中元素只有y+1＞0，说明A中的-x，-x-1有可能与B中的-y，-$\frac{y}{2}$分别相等，分类讨论后有一种情况与题意不符，只有另外一种情况，求出此时x和y的值，则x²+y²的值可求．

解答 解：由A={x²+x+1，-x，-x-1}，B={-y，-$\frac{y}{2}$，y+1}，且A=B，
因为x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，且-y＜0，-$\frac{y}{2}$＜0．
所以只有x²+x+1=y+1．
若$\left\{\begin{array}{l}{-x=-y}\\{-x-1=-\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得x=y=-2，与y∈R⁺不符．
若$\left\{\begin{array}{l}{-x=-\frac{y}{2}}\\{-x-1=-y}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2；
代入集合A，B中验证满足集合元素的互异性．
此时x²+y²=1²+2²=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的特性，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．