Question

设m是常数，集合M={m|m＞1}，f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)
（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．

Answer 1

分析：（1）化简函数的解析式为f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，m＞1时，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，故f（x）的定义域为R．
（2）设U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，由于y=log₃U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为m+

1

m-1

，求得f（x）的最小值．
（3）根据m∈M时，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．

解答：解：（1）f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，
当m∈M，即 m＞1时，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，
故f（x）的定义域为R．
（2）设U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，
∵y=log₃U是增函数，
∴当U最小时f（x）最小．
而U=(x-2m)2+m+

1

m-1

，显然当x=2m时，U的最小值为m+

1

m-1

，
此时f(x)min=log3(m+

1

m-1

)．
（3）m∈M时，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，当且仅当m-1=1时，即m=2时，等号成立，
所以log3(m+

1

m-1

)≥log3=1，即函数f（x）的最小值都不小于1．

点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．