Question

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x+2求
（1）f（x）的解析式；
（2）并指出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）只需先求出x≤0时的表达式．由奇函数的性质可得f（-0）=-f（0），可求得f（0）；当x＜0时，-x＞0，利用已知表达式可求得f（-x），根据奇函数性质可得f（x）=-f（-x），由此可求得f（x）；
（2）根据二次函数的性质可分段求出单调区间；

解答：解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=-f（-0），即2f（0）=0，
∴f（0）=0，
又x＞0时，f（x）=-x²+2x+2，
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）+2=-x²-2x+2，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
∴当x＜0时，f（x）=x²+2x-2，
∴函数解析式是：f（x）=

-x2+2x+2，x＞0 0，x=0 x2+2x-2，x＜0

．
（2）当x＞0时，f（x）=-x²+2x+2=-（x-1）²+3在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
当x＜0时，f（x）=x²+2x-2=（x+1）²-3在（-∞，-1）上递减，在（-1，0）上递增；
∴f（x）的增区间为（0，1）和（-1，0），减区间为（1，+∞）和（-∞，-1）．

点评：本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式，考查二次函数的单调性，考查分类讨论思想．