题目内容

已知双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）的两个焦点为 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，点P是第一象限内双曲线上的点，且 $数学公式$ ，tan∠PF₂F₁=-2，则双曲线的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：在△PF₁F₂中，根据正弦定理算出PF₁=2PF₂．根据tan∠PF₁F₂= $\text{[math]}$ ，tan∠PF₂F₁=-2，结合三角形内角和与两角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，从而算出cos∠F₁PF₂值，根据余弦定理得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．将两式联解即得PF₁、PF₂的长，从而得到双曲线的2a值，最后用离心率的公式可求出双曲线的离心率．
解答：∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═ $\text{[math]}$ ，sin∠PF₁F₂═ $\text{[math]}$ ，
∴由正弦定理得 $\text{[math]}$ ，…①
又∵ $\text{[math]}$ ，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，
△PF₁F₂中用余弦定理，得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ =3，…②
①②联解，得 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，
∴双曲线的 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ，得离心率 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题以求双曲线的离心率为载体，考查正余弦定理解三角形、两角和的正切公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．