Question

已知函数f（x）=ab^x（a，b为常数）的图象经过点P（1，

1

8

）和Q（4，8）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=log₂ f（n），n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，求s_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）把点P（1，

1

8

）和Q（4，8）代入f（x）=ab^x，即可求出a，b的值，再代入f（x）=ab^x，就可求出函数f（x）的解析式．
（2）根据（1）中所求函数f（x）的解析式，化简a_n=log₂ f（n），再利用等差数列的前n项和可看成是n的二次函数，利用二次函数求最值的方法即可求出s_n的最小值．

解答：解：（1）因为函数f（x）=ab^x（a，b为常数）的图象经过点P，Q则有

ab= 1 8 ab4=8

解得

a= 1 32 b=4

∴f(x)=

1

32

4x(也可以写成4x-

5

2

等不同的形式．)
（2）a_n=log₂f（n）=log₂

4n

32

=2n-5
因为a_n+1-a_n=2（n+1）-5-（2n-5）=2；
所以{a_n}是首项为-3，公差为 2的等差数列   （不写此步骤要扣2分）．
所以Sn=

n(-3+2n-5)

2

=n2-4n=（n-2）²-4，当n=2时，s_n取最小值-4

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，以及函数和数列相结合，求最值的方法．