Question

已知△ABC的面积满足，且•=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由三角形面积和数量积公式，联解可得，结合得tanB∈[-1，-]，从而，再化简函数f（B）=2+sin（2B+），结合三角函数的图象与性质，可得函数f（B）的值域；
（II）由已知得向量、都是单位向量，将平方化简得=13-12sinB，结合角B的取值范围则不难得到的取值范围，进而可得到的取值范围．
解答：解（I）由，得2S=acsinB
因为，所以-6=accosB
∴，
结合，得，
由角B为三角形内角可知，…（2分）．
∵f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B=…（4分）
∵，函数f（B）在区间[，]上为增函数
∴当B=时，函数有最小值为2+sin=1；当B=时，函数有最大值为2+sin=
由此可得…（6分）．
（II）由可知：．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，…（10分）
∵，∴sinB∈[，]
由此可得：，得到…（12分）．
点评：本题以平面向量的数量积运算为载体，求关于B的函数的值域和向量模长的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算公式、两角和与差的正弦函数和向量的模公式等知识，属于中档题．