题目内容

已知a＜0，函数 $数学公式$ ，当x∈R时，f（x）∈[1，3]．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

解：∵x∈R，∴ $\text{[math]}$ ．
∵a＜0，∴ $\text{[math]}$ ，
因此，可得 $\text{[math]}$ ．
又∵1≤f（x）≤3，
∴ $\text{[math]}$ ，解得：a=-1，b=2．…（3分）
（2）由（1）知a=-1，b=2，得 $\text{[math]}$ ，
令- $\text{[math]}$ +2kπ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，得- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z）
∴函数 $\text{[math]}$ 的增区间为[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，
得函数 $\text{[math]}$ 的减区间为[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]．（k∈Z）
令 $\text{[math]}$ +2kπ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，得 $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z）
∴函数 $\text{[math]}$ 的增区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，
得函数 $\text{[math]}$ 的增区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，（k∈Z）
综上所述，得f（x）的单调增区间是[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，单调减区间是[- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]．（k∈Z）
分析：（1）根据三角函数的图象也性质，结合a＜0建立关于a、b的方程组，解之即得实数a，b的值；
（2）由（1）得函数表达式为 $\text{[math]}$ ．得函数 $\text{[math]}$ 的增区间就是函数f（x）的减区间，函数 $\text{[math]}$ 的减区间就是函数f（x）的增区间，由正弦函数单调性建立不等式，解之即得f（x）的单调区间．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的最大、最小值，求参数a、b的值，着重考查了正弦函数的单调性和由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．