Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C且交AC于D，A1A=AB=

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BC．
（I）证明：B₁C₁∥平面A₁BC；
（II）证明：A₁C⊥平面EDB；
（III）求平面A₁AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）．

Answer 1

证明：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁C₁∥BC，（1分）
又BC?平面A₁BC，且B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC（3分）
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A⊥AB，
∴Rt△A₁AB中AB=

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A1B又A1A=AB=

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BC
∴BC=A₁B，
∴△A₁BC是等腰三角形（6分）
∵E是等腰△A₁BC底边A₁C的中点，
∴A₁C⊥BE①
又依条件知A₁C⊥ED②
且ED∩BE=E③
由①，②，③得A₁C⊥平面EDB（8分）
（III）∵A₁A、ED?平面A₁AC，
且A₁A、ED不平行，
故延长A₁A，ED后必相交，
设交点为F，连接EF，如图
∴A₁-BF-E是所求的二面角（10分）
依条件易证明Rt△A₁EF≌Rt△A₁AC∵E为A₁C中点，
∴A为A₁F中点∴AF=A₁A=AB
∴∠A₁BA=∠ABF=45°
∴∠A₁FB=90°
即A₁B⊥FB（12分）
又A₁E⊥平面EFB，
∴EB⊥FB
∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角（13分）
∵E为等腰直角三角形A₁BC底边中点，
∴∠A₁BE=45°
故所求的二面角的大小为45°（14分）