Question

【题目】设函数， .

（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）记，讨论的单调性；

（Ⅲ）若在恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ） 时， 在单调递减， 时， 在单调递减，在单调递增；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，∴，

故在单调递增，又 ，因此函数在内存在零点.

所以的零点的个数为1.

（Ⅱ）由题意， ，分时和 两种情况讨论，可知的单调性；

（Ⅲ）由题意： ，

问题等价于在恒成立，

讨论可知， ，

即当在恒成立时，必有.

当时，设，

①若，则时，， 不恒成立.

②若,即时， 在恒成立.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，∴，

故在单调递增，

又， ，

因此函数在内存在零点.

所以的零点的个数为1.

（Ⅱ），

，

当时， ， 在上单调递减；

当时，由，解得（舍去负值），

所以时， ， 单调递减，

时， ， 单调递增.

综上时， 在单调递减，

时， 在单调递减，在单调递增.

（Ⅲ）由题意： ，

问题等价于在恒成立，

设，

若记，

则，

当时， ，

在单调递增，

，

即，

若，由于，故，故，

即当在恒成立时，必有.

当时，设，

①若，则时，

由（Ⅱ）知， 单调递减， ， 单调递增，

因此，而，

即存在，使，

故当时， 不恒成立.

②若，即时，

设，

，

由于且，

即，故，

因此，

故在单调递增.

所以时，

即时， 在恒成立.

综上： ， 在恒成立.