Question

（2006•蓟县一模）已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则即可得出f′（x），分别解出f′（x）=0和f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其单调区间、极值；
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，因此F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，x∈[0，+∞）．
利用导数得出F′（x），通过对a分类讨论，利用其单调性即可．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1=-1或x2=-

1

3

．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x=-

1

3

时，f（x）取得极小值为-

112

27

．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x=

2a-4

3

，
当0＜x＜

2a-4

3

时，F′（x）＜0；当x＞

2a-4

3

时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min=F(

2a-4

3

)≥0，即(

2a-4

3

)3-(a-2)(

2a-4

3

)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键．