Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列3个函数：
①f（x）=x³
②f（x）=e^x
③f(x)=cos

π

2

x
其中存在“稳定区间”的函数有（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：根据“稳定区间”的定义，可以得到函数的定义域和值域相同．

解答：解①若f（x）=x³函数单调递增，若满足条件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

a3=a b3=b

，所以当a=0，b=1时满足条件，即此时的稳定区间为[0，1]，所以①正确．
②若f（x）=e^x函数单调递增，若满足条件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ea=a eb=b

，即a，b是方程e^x=x的两个根，作出函数y=e^x和y=x的图象，由图象可知两个图象没有公共点，所以②不存在稳定区间．
③由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f(x)=cos

π

2

x的一个稳定区间，所以③正确．
故选B．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合是解答本题的关键．