Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

Answer 1

【答案】分析：求导数可得x=0，或x=时，函数取得极值，要满足题意需f（）=0，可得a，b的关系，当a＞0时，x₁+x₂的正负不确定，不合题意；当a＜0，可得x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，进而可得答案．
解答：解：原函数的导函数为f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，
故当x=0，或x=时，函数取得极值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点，
则必有f（）=a+b-2=0，解得，且b＞0，
即函数的一根为x₁=，
（1）如下图，若a＞0，可知x₁=＜0，且为函数的极大值点，x=x₂处为函数的极小值点，
此时函数有2个零点：，x₂＞0，显然有x₁x₂＜0，但x₁+x₂的正负不确定，故可排除C，D；
（2）如图2，若a＜0，必有x₁=＞0，此时必有x₁x₂＜0，x₁=的对称点为x=，
则f（）=a+b-2=-2==8＞0，
则必有x₂＞，即x₂-＞0，即x₁+x₂＞0
故选B
点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及三次函数的图象以及分类讨论的思想，属中档题