题目内容
如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求
| BN |
（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（2）求出
=（1，-1，2），
=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）证明
•
=0，即可证明A1B⊥C1M．
（2）求出
| BA1 |
| CB1 |
（3）证明
| A1B |
| C1M |
解答：
（1）解：以C为坐标原点，以
、
、
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图
由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|
|=
=
．
（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．
∴
=（1，-1，2），
=（0，1，2），
∴
•
=3．
∴|
|=
，|
|=
，
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为
．
（3）证明：∵
=（-1，1，-2），
=（
，
，0），
∴
•
=-1×
+1×
+（-2）×0=0，
∴
⊥
，即A1B⊥C1M．
（1）解：以C为坐标原点，以| CA |
| CB |
| CC1 |
由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|
| BN |
| 12+(-1)2+12 |
| 3 |
（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．
∴
| BA1 |
| CB1 |
∴
| BA1 |
| CB1 |
∴|
| BA1 |
| 6 |
| CB1 |
| 5 |
∴cos＜
| BA1 |
| CB1 |
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为
| ||
| 10 |
（3）证明：∵
| A1B |
| C1M |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| A1B |
| C1M |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| A1B |
| C1M |
点评：本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
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