Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点，E为BC₁的中点
（1）求证：OE∥平面A₁AB；
（2）求二面角A-A₁B-C₁的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
∴A₁O⊥AC．
又侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，其交线为AC，且A₁O∈平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥底面ABC．…..（2分）
以O为坐标原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(0，2，

3

)，B（1，0，0），E(

1

2

，1，

3

2

)．则有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．
设平面AA₁B的一个法向量为

n

=(x，y，z)，…..（4分）
则有{

n • AA1 =0 n • AB =0

，即{

y+ 3 x=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

，
所以

n

=(-1，1，-

3

3

)．
又知

OE

=(

1

2

，1，

3

2

)，…..（6分）
∴

n

•

OE

=0
∴OE∥平面A₁AB．…..（7分）
（2）．设平面A₁BC₁的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
又知

A1C1

=(0，2，0)，

A1B

=(1，0，-

3

)
由{

m • A1B =0 m • A1C1 =0

得{

2y=0 x- 3 z=0

可得

m

=(

3

，0，1)…..（9分）
则cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

2 7

7

，…..（11分）
所以二面角A-A₁B-C₁的正弦值为

21

7

．…..（12分）