Question

函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx+3（x∈R）．
（1）求函数f（x）
（2）的最小正周期及对称轴方程；
（3）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求该函数的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式，结合辅助角公式化简得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+4；
（2）由三角函数的周期公式算出T=

2π

2

=π，再根据正弦曲线的对称轴方程，解关于x的等式即可得到函数图象的对称轴方程；
（3）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，可得-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的最小值为3，最大值为4+

2

．

解答：解：（1）∵2cos²x=1+cos2x，2sinxcosx=sin2x
∴f(x)=1+cos2x+sin2x+3=sin2x+cos2x+4=

2

sin(2x+

π

4

)+4…（5分）
函数f（x）的表达式为：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+4；
（2）函数的最小正周期为T=

2π

2

=π
由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，解得x=

π

8

+

kπ

2

  (k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=

π

8

+

kπ

2

  (k∈Z)；…（7分）
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
可得-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1…（10分）
∴f(x)∈[3，4+

2

]，即f（x）的最小值为3，最大值为4+

2

…（13分）

点评：本题将一个三角函数式化简，并求函数的周期与最值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质和函数图象的对称性等知识，属于中档题．