Question

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导数研究函数的单调性，首先求出极值点，同时注意函数的定义域；
（II）已知函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，根据导数与直线斜率的关系可得f′（2）=1，将问题转化为二元一次方程有解问题，从而求解；
解答：解：（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
当a＜0时，令f′（x）=＞0，即＜0，解得增区间为（1，+∞），
减区间为（0，1）；
当a＞0时，令f′（x）=＞0，即＞0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）==tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=，
g（x）=x³+x²（+）=x³+（+2）x²-2x，
g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2＜0，要使函数g（x）=x³+x²[+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值，
只需，
解得-＜m＜-9；
点评：此题利用导数研究函数单调区间，以及导数所表示的几何意义，将问题转化为方程有解问题，是一道中档题；