Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点；
（2）若对x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）由条件得到a＞0，c＜0，判别式△=b²-4ac≥-4ac＞0，从而证得方程ax²+bx+c=0有两个不等实根．
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁ ）+f（x₂）]，证明g（x₁）•g（x₂）＜0，可得g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一实根，
问题得证．

解答：证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．
又∵△=b²-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax²+bx+c=0有两个不等实根．
所以，函数f（x）必有两个零点．
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

f(x1)-f(x2)

2

，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=-

f(x1)-f(x2)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=

f(x1)-f(x2)

2

•

f(x2)-f(x1)

2

=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²．
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0．
∴g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一实根．
∴方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）内必有一实根．
再由 g（x₁）•g（x₂）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，
故函数g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的图象与x轴一定有两个交点，
故方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根．
综上可得，方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x₁，x₂）．

点评：本题考查二次函数的性质，方程的根就是对应函数的零点，以及函数零点存在的条件，属于中档题．