题目内容

f（x）是以4为周期的奇函数， $数学公式$ 且 $数学公式$ ，则f（4cos2α）=________．

-1
分析：根据题意，由sinα= $\text{[math]}$ ，结合余弦的二倍角公式可得cos2α= $\text{[math]}$ ，则f（4cos2α）=f（ $\text{[math]}$ ），结合函数的周期性与奇偶性可得f（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）=-f（ $\text{[math]}$ ），由题意可得答案．
解答：根据题意，若sinα= $\text{[math]}$ ，则cos2α=1-2sin²α= $\text{[math]}$ ，
则f（4cos2α）=f（ $\text{[math]}$ ），
f（x）是以4为周期的函数，则f（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）
又由函数f（x）为奇函数，则f（- $\text{[math]}$ ）=-f（ $\text{[math]}$ ）=-1，
即有f（4cos2α）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）=-f（ $\text{[math]}$ ）=-1；
故答案为-1．
点评：本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及二倍角公式的应用，注意正确运用二倍角公式．

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已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，满足f（x+2）=-f（x），且当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；
（Ⅲ）当-1≤x≤3时，求f（x）的解析式（结果写成分段函数形式）．

设f（x）是以4为周期的函数，且当x∈[-2，2]时，f（x）=x+1，则f（7.6）=

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-2）=-f（x）．当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列四个命题：
①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³：
③函数y=f（x）的图象关于x=l对称； ④函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称．
其中正确的命题序号是

给出下列命题：
①已知直线m，l，平面α，β，若m⊥β，l?α，α∥β，则m⊥l；
②

的夹角为锐角的充要条件；
③若f（x）在R上满足f（x-2）=-f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数；
④y=sin（2x+

）的图象的一个对称中心是（

，0）
以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

（2006•上海模拟）设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³
（1）求证：x=1是函数f（x）的一条对称轴
（2）证明函数f（x）是以4为周期的函数，并求x∈[1，5]时，f（x）的解析式．