Question

我们把具有以下性质的函数f（x）称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f（b），f（c）也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数：
①f(x)=

x

②f(x)=1-x，x∈(0，

1

2

)
③f（x）=e^x，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函数”的序号有

①②③

．

Answer 1

分析：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，
①

a

+

b

＞

a+b

＞

c

，可得函数f（x）是“好函数”；
②作差，验证f（a）+f（b）＞f（c），可得函数f（x）是“好函数”；
③ea+eb＞2

ea+b

=2

ec

，若2

ec

＞ec，即e^c＜4，由c∈（0，1），可得结论成立；
④若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞sinc，结论不一定成立．

解答：解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，不妨设c是最大边，且a+b＞c
①f(x)=

x

，∵

a

+

b

＞

a+b

＞

c

，∴函数f（x）是“好函数”；
②f（x）=1-x，∵f（a）+f（b）-f（c）=1+c-（a+b），a，b，c∈（0，

1

2

），∴f（a）+f（b）-f（c）＞0，∴f（a）+f（b）＞f（c），∴函数f（x）是“好函数”；
③f（x）=e^x，ea+eb＞2

ea+b

=2

ec

，若2

ec

＞ec，即e^c＜4，∵c∈（0，1），∴结论成立，∴函数f（x）是“好函数”；
④f（x）=sinx，若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞sinc，则∵x∈（0，π），-π＜a-b＜c，∴结论不一定成立，∴函数f（x）不是“好函数”；
故答案为：①②③

点评：本题主要考查进行简单的合情推理、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．