题目内容

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为 $数学公式$ ，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1， $数学公式$ （n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设 $数学公式$ ，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）依题意， $\text{[math]}$ （a＞0），
即 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，两边取倒数，得 $\text{[math]}$ ，即b_n+1=3+b_n．
∴数列b_n是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为3的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
= $\text{[math]}$
（2）当n为奇数时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上， $\text{[math]}$ （13分）
分析：（Ⅰ）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为 $\text{[math]}$ ，”可得到 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得 $\text{[math]}$ 得到函数的解析式．
（Ⅱ）先求导数f'（x）=3x+1，则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，两边取倒数，有 $\text{[math]}$ 由等差数列定义求解．
（Ⅲ）化简得S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴以有T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可．
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了二次函数求解析式，构造数列求数列的通项及前n项和等问题，属于中档题．