Question

若（a-2x）⁵展开式中x²的系数为40，且(a-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．
（1）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2的值；
（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值；
（3）求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅的值．

Answer 1

分析：（1）求得a=1后，利用平方差公式展开，原式=f（1）f（-1），从而可求其值；
（2）令g（x）=（1+2x）⁵，|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|=g（1），从而可得答案；
（3）f（x）=（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵⇒f′（x）=-10（1-2x）⁴=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+5a₅x⁴，再对x赋值1即可．

解答：解：由题知

C

2 5

a³（-2x）²=40a³x²，
∴40a³=40，∴a=1，
即（a-2x）⁵=（1-2x）⁵，
设f（x）=（1-2x）⁵，
（1）(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=（a₀+a₁+…+a₅）（a₀-a₁+…-a₅）=f（1）f（-1）=-3⁵=-243．
（2）令g（x）=（1+2x）⁵，
则|a₀|+|a₁|+…+|a₅|=g（1）=3⁵=243；
（3）由于f（x）=（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
∴f′（x）=-10（1-2x）⁴=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+5a₅x⁴，
∴f′（1）=-10（1-2）⁴=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅=-10．

点评：本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法与导数法的应用，考查数列求和，属于中档题．