Question

（2013•昌平区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

且过点（0，1）．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由离心率的计算公式和a²=b²+c²及b=1即可得到a²得到椭圆的方程；
（II）把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E点，则

EC

•

ED

=0，将它们联立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答：解：（I）根据题意，

c a = 6 3 a2=b2+c2 b=1

，解得

a2=3 b2=1 c2=2

．
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，解得k²＞1．（*）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

-12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

，（**）
若以CD为直径的圆过E点，则

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，代入上式得
(x1+1)(x2+1)+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，
化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

，满足k²＞1．
所以存在k=

7

6

使得以线段CD为直径的圆过E点．

点评：熟练掌握椭圆的方程、离心率的计算公式和a²=b²+c²、直线与椭圆的相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程及根与系数的关系、数量积与垂直的关系等是解题的关键．