Question

设（a＞0）
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[2，4]上的存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）在[1，+∞）上递增，可得f′（x）≥0恒成立，从而转化为恒成立问题解决．
（2）f（x）在[2，4]上存在单调递减区间即为f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，从而可得a的范围．
解答：解：，
（1）因为f（x）在[1，+∞）上递增，所以f′（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即恒成立，又x∈[1，+∞）时，，∴a≥2．
故a的取值范围是[2，+∞）．
（2）若f（x）在[2，4]上存在单调递减区间，则f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，即有解，
而x∈[2，4]时，1≤≤，∴0＜a＜．
故a的取值范围为（0，）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，注意f′（x）≥0是可导函数f（x）单调递增的充要条件．