Question

（2012•株洲模拟）已知函数f(x)=2sinxcos(x+

π

3

)
（1）求函数f（x）的周期与单调递增区间
（2）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=-

3

2

，a=2

3

，b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式第二个因式利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的周期；同时根据正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求出x的范围，可得出函数的单调递增区间；
（2）由f（A）=-

3

2

，将x=A代入化简后的函数解析式中，令函数值为-

3

2

，可得出sin（2x+

π

3

）=0，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a小于b，得到A为锐角，确定出A的度数，进而得到sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值确定出B的度数，再利用三角形的内角和定理求出C的度数，得到sinC的值，由a与b的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）f(x)=2sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)
=sinxcosx-

3

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

…（2分）
=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，…（4分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；…（8分）
（2）∵f(A)=-

3

2

，∴sin(2A+

π

3

)=0，
由A为三角形的内角，解得：A=

π

3

或A=

5π

6

，
又a＜b，故A=

π

3

，…（10分）
∵a=2

3

，b=4，sinA=

3

2

，
由

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=1，
∵B为三角形的内角，
则B=

π

2

，C=

π

6

，
所以S=

1

2

absinC=2

3

．…（14分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，正弦定理，三角形的面积公式，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．