Question

已知函数f（x）=（1+

a

x

）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（-∞，-

a

2

]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函数f（x）的零点，先求出f（x）=0的解，即可得到函数f（x）的零点；
（Ⅱ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在定义域内求出f′（x）=0的值x₁=

-a- a2+4a

2

，再讨论点x₁=

-a- a2+4a

2

附近的导数的符号的变化情况，从而得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）先利用作差法比较x₁与-a的大小，从而得到x₁＜-a＜-

a

2

＜0，又函数在（x₁，0）上是减函数，则函数在区间（-∞，-

a

2

]上的最小值为f（-

a

2

），求出f（-

a

2

）即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=0，得x=-a，所以函数f（x）的零点为-a．（2分）
（Ⅱ）函数f（x）在区域（-∞，0）上有意义，f′（x）=

x2+ax-a

x2

ex，（5分）
令f′（x）=0，得x₁=

-a- a2+4a

2

，x₂=

-a+ a2+4a

2

，
因为a＞0，所以x₁＜0，x₂＞0．（7分）
当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下：

所以在区间（-∞，

-a- a2+4a

2

）上f（x）是增函数，（8分）
在区间（

-a- a2+4a

2

，0）上f（x）是减函数．（9分）
（Ⅲ）在区间（-∞，-

a

2

]上f（x）存在最小值f（-

a

2

）．（10分）
证明：由（Ⅰ）知-a是函数f（x）的零点，
因为-a-x₁=-a-

-a- a2+4a

2

=

-a+ a2+4a

2

＞0，
所以x₁＜-a＜0，（11分）
由f(x)=(1+

a

x

)ex知，当x＜-a时，f（x）＞0，（12分）
又函数在（x₁，0）上是减函数，且x₁＜-a＜-

a

2

＜0，
所以函数在区间（-x₁，-

a

2

]上的最小值为f（-

a

2

），且f（-

a

2

）＜0，（13分）
所以函数在区间（-∞，-

a

2

]上的最小值为f（-

a

2

），
计算得f（-

a

2

）=-e-

a

2

．（14分）

点评：本题主要考查了函数的零点，不等式的性质，不等式的证明，导数的应用，以及分析问题能力，属于中档题．