Question

已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC=120°．若AO=λ₁AB+λ₂AC，则2λ₁+λ₂=

 

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁和λ₂ 的值．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （4，0），C（-1，

3

）
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线m：x=2 上，又在AC的中垂线n 上，
AC的中点(-

1

2

，

3

2

)AC的斜率为-

3

，
∴中垂线n的方程为y-

3

2

=

3

3

(x+

1

2

)
把直线m和n的方程联立方程组解得△ABC的外心O（2，

4

3

3

），
由AO=λ₁AB+λ₂AC，
得（2，

4

3

3

）=λ₁（4，0）+λ₂（（-1，

3

）
∴2=4λ₁-λ₂，

4 3

3

=

3

λ2
解得λ1=

5

6

，λ2=

4

3

，
∴2λ₁+λ₂=3．
故答案为：3．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．