Question

（2013•烟台二模）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，a_n+1是函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

(1-

1

2

an)x2-

1

2

anx的极小值点．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n²，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

16

9

．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的极值点，即可得到数列{a_n}为等比数列，从而求出通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，求出数列{b_n}的前n项和为S_n，即可证明结论．

解答：证明：（1）求导函数可得f′(x)=x2+(1-

1

2

an)x-

1

2

an=(x+1)(x-

1

2

an)
∵a_n＞0，∴f（x）在（-∞，-1）、（

1

2

an，+∞）上递增，在（-1，

1

2

an）上递减
∴f（x）的极小值点为

1

2

an，∴an+1=

1

2

an
∵a₁=1，∴数列{a_n}为首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴通项公式a_n=(

1

2

)n-1；
（2）b_n=na_n²=n•(

1

4

)n-1
∴S_n=1•(

1

4

)0+2•(

1

4

)1+…+n•(

1

4

)n-1①
∴

1

4

S_n=1•(

1

4

)1+2•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n②
①-②：

3

4

S_n=1•(

1

4

)0+1•(

1

4

)1+…+1•(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n=

4

3

-

4

3

•(

1

4

)n-n•(

1

4

)n
∴S_n=

16

9

-

16

9

•(

1

4

)n-

4

3

n•(

1

4

)n＜

16

9

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．