Question

已知函数f(x)=ax--2lnx

(1)若函数f(x)在其定义域内为递增函数，求实数a的取值函数；

（2）若函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0，并且.①若a₁≥3，试证明;

②若a₁=4，试比较与的大小，并说明你的理由。

Answer 1

解：(1)由f(x)可得f(x)=,  ∴f(x)≥0在（0，+∞）恒成立

      ∴ax²-2x+a≥0恒成立，   ∴  a≥在（0，+∞）恒成立

           故a≥1--------------------------------------6

   （2）∵函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0

        ∴f（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1

∴f（x）=

∴ =

     =---------------------------8

①    用数学归纳法证明：

 （ⅰ）当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立。

 （ⅱ）假设n=k时，不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，

     ∴a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥2（k+2）+1=（k+3）+k+2＞k+3，

      综上述可知，对于所有n≥1都有

②及①知对于k≥2，有

     ∴------------------------------10

∵ a₁=4，∴，于是当k≥2时，，

∴≤

      =＜