Question

双曲线C的中心为原点O，焦点在x轴上，l是双曲线的一条渐近线，经过右焦点F做l的垂线，垂足为A，且|

OA

|=2|

FA

|．
（I）求双曲线C的离心率；
（II）若线段OA的长为1，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线C的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），依题意可求得|OA|=2b，|OF|=

5

b=c，从而可求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的离心率e=

5

2

，依题意|OA|=2b=1，可求得a，从而可得双曲线C的方程．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其右焦点F（c，0），

不妨设其渐近线l的方程为：y=

b

a

x，即bx-ay=0，
依题意，|FA|=

|bc|

b2+(-a)2

=

bc

c

=b，又|OA|=2|FA|，
∴|OA|=2b，
∴|OF|=

5

b=c，
∴c²=5b²=5（c²-a²），
∴4c²=5a²，
∴求双曲线C的离心率e=

c

a

=

5

2

．
（Ⅱ）∵|OA|=2b=1，
∴b=

1

2

，
∴c=

5

b=

5

2

，
∴a²=c²-b²=

5

4

-

1

4

=1，
∴双曲线C的方程为：

x2

12

-

y2

( 1 2 )2

=1，即x²-4y²=1．

点评：本题考查双曲线的性质与标准方程，考查分析运算能力，求得双曲线C的离心率是关键，属于中档题．