Question

如图（1），在三角形ABC中，BA=BC=2，∠ABC=90°，点O，M，N分别为线段的中点，将ABO和MNC分别沿BO，MN折起，使平面ABO与平面CMN都与底面OMNB垂直，如图（2）所示．

（1）求证：AB∥平面CMN；

（2）求平面ACN与平面CMN所成角的余弦；

（3）求点M到平面ACN的距离．

 

 

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1），平面平面，又平面平面，，

所以平面，同理平面，所以∥，又平面,

平面 , ，所以面面，又面，所以面；

（2）分别以为轴建立坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，

则有，令，得，而平面AOMC的法向量为：，，即平面ACN与平面AOMC所成角的余弦值为；（3），由（2）知平面的法向量为：，因此点M到平面CAN的距离.

试题解析：（1），平面平面

∵平面平面，，∴平面，同理平面，∴∥，又∵平面,

平面 , ，

∴平面平面，又平面，

∴平面

（2）分别以为轴建立坐标系，

则，，，，，

∴，，设平面的法向量为，

则有，令，得，而平面AOMC的法向量为：，

即平面ACN与平面AOMC所成角的余弦值为

（3），由（2）知平面的法向量为：，

∴点M到平面CAN的距离

考点：1.线面平行的判定；2.向量法求二面角；3.向量法求点到平面的距离