Question

（2013•西城区一模）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用

CB

与平面ACE的法向量

n

所成的角即可得出；
（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量

m

，

n

，若此两个平面垂直，则必有

m

•

n

=0有解，否则两个平面不垂直．

解答：（Ⅰ）证明：不妨设BC=1，
∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC²=2²+1²-2×2×1×cos60°=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
设BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
∴

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），则有

n• CE =0 n• CA =0.

∴

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0.

取z=1，得n=（0，2，1）．
设BC与平面EAC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

CB

，

n

＞|=

| CB • n |

| CB | | n |

=

2 5

5

．
所以 BC与平面EAC所成角的正弦值为

2 5

5

．
（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：
假设线段ED上存在点Q，设 Q(

3

2

，-

1

2

，t)（0≤t≤1），所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
设平面QBC的法向量为

m

=（a，b，c），则有

m • CB =0 m • CQ =0

，
所以 

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0.

取 c=1，得

m

=(-

2

3

t，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量表示线面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．