Question

平面内的点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈(-

π

4

，

3π

4

)，O为原点，若

OP

，

OQ

两个向量的夹角为θ，求：f（x）=cosθ的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：由已知中点P（1，cosx），Q（cosx，1）的坐标，进而根据cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

，我们可以求出余弦值f（x）的解析式，结合 x∈[-

π

4

，

π

4

]，求得t=cosx的范围，由基本不等式
求得到函数f（x）的最大值．

解答：解：由已知可得 f（x）=cosθ=

OP • OQ

OP |•| OQ |

=

2cosx

1+cos2x

．∵x∈(-

π

4

，

3π

4

)，令t=cosx∈[-

2

2

，1]，
可得 f（x）=

2t

1+t2

=

2

1 t +t

≤1，当且仅当t=1时，等号成立．
故f（x）=cosθ的最大值为1，此时，t=cosx=1，x=0．

点评：本题主要考查的知识点是平面向量的数量积的坐标表示，平面向量数量积的运算，基本不等式的应用，注意角的范围，这是解题的易错点．