题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x₁、x₂∈（-1，1）都有 $数学公式$ ；
②当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性，并给出证明；
（2）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
令x₁=x₂=0
则f（0）+f（0）=f（0）
解得f（0）=0
令x₂=-x₁，
则f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（-x₁）=f（0）=0
∴函数f（x）为奇函数
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴ $\text{[math]}$ ＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）= $\text{[math]}$
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴ $\text{[math]}$ ＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即函数f（x）在（-1，1）上为减函数
（2））∵ $\text{[math]}$ ，f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=2• $\text{[math]}$ •2=1
分析：（1）令x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₂=-x₁，可得f（x₁）+f（-x₁）=0，进而根据函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，结合当x＜0时，f（x）＞0．及函数单调性的定义，可判断函数的单调性；
（2）根据 $\text{[math]}$ ，结合（1）中函数的奇偶性，可得f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ，可求 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数奇偶性与函数单调性的综合，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．