Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

4

，2an+1=

a

2 n

+2an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]的值等于

3

．

Answer 1

分析：由题意说明数列的项为正，化简数列递推关系式为的范围，即可求出表达式的最大整数．

解答：解：因为a1=

1

4

，2an+1=

a

2 n

+2an，所以数列{a_n}各项为正，并且

1

an+2

＞0
由递推公式2an+1=

a

2 n

+2an，移向2an+1-

a

2 n

-2an=0，
在两边加上a_na_n+1，并将左边提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1
可得

1

an+2

= 

an+1-an

anan+1

= 

1

an

-

1

an+1

，
所以

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…

1

a2013

-

1

a2014

=

1

a1

-

1

a2014

＜

1

a1

=4．
又因为a1=

1

4

，a2=

9

32

，a3=

657

2048

，…，

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

＞3，
所以[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]=3
故答案为：3

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，新定义的应用，确定表达式的取值范围是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．要注意多观察，多思考寻找题目中隐藏的规律．