Question

已知函数f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)(x∈R)．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先利用 二倍角公式和两角差的正弦公式，将函数f（x）化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再由周期公式计算函数的最小正周期即可
（Ⅱ）将内层函数看作整体，结合正弦函数的图象和性质，解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，即可得函数的单调增区间

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+1-cos2（x-

π

12

）
=2[

3

2

sin2（x-

π

12

）-

1

2

 cos2（x-

π

12

）]+1=2sin[2（x-

π

12

）-

π

6

]+1
=2sin（2x-

π

3

）+1  
∴T=

2π

2

=π
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
即函数的递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z

点评：本题考察了二倍角公式和两角差的正弦公式的应用，三角函数的图象和性质，求复合函数单调区间的方法