Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log₄（a•2^x-

4a

3

）有且只有一个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的定义即可求得k的值，利用函数单调性的定义即可得出证明；
（2）把问题等价转化，利用分类讨论的思想方法即可得出a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
∴log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，
化为x=-2kx，对一切x∈R恒成立，解得k=-

1

2

．
由题意可知：只要证明函数f（x）+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定义域R上单调即可．
∵函数y=4^x与y=x在R单调递增，∴函数y=log4(4x+1)+x在R上单调递增．
因此对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log₄（a•2^x-

4a

3

）有且只有一个解，
即log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4a

3

)，化为2x+

1

2x

=a•2x-

4a

3

，即此方程有且只有一个解．
令t=2^x＞0，上述问题化为方程(a-1)t2-

4a

3

t-1=0有且只有一个正根．
①若a=1，解得t=-

3

4

，不合题意，应舍去；
②a≠1，由△=0，解得a=-

3

4

或-3．
当a=-

3

4

时，t=-2不合题意，应舍去；当a=-3时，t=

1

2

，满足题意．
③若a≠1，△＞0，且方程有一个正根和一个负根时，

-1

a-1

＜0，解得a＞1．
综上a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．