Question

如下四个函数：
①f（x）=sinx②f（x）=x²+2x-1③f（x）=-x³+4x+2④f(x)=log

1

2

x
性质A：存在不相等的实数x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
性质B：对任意0＜x₂＜x₃＜1，总有f（x₁）＜f（x₂）
以上四个函数中同时满足性质A和性质B的函数个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由于性质B，即单调性的检验更易于进行，所以先检验它们的单调性，其中函数f（x）=-x³+4x+2的单调性需用导数法判断；对于性质A，可结合奇函数的性质f（x）+f（-x）=0举出例证，其中函数f（x）=x²+2x-1需用反证法思想推出矛盾．则问题解决．

解答：解：（1）由性质B：“对任意0＜x₁＜x₂＜1，总有f（x₁）＜f（x₂）”知，函数f（x）在（0，1）上是增函数．
①∵f（x）=sinx在[0，

π

2

]上是增函数，∴f（x）=sinx在（0，1）上是增函数．
②∵f（x）=x²+2x-1在[-1，+∞）上是增函数，∴f（x）=x²+2x-1在（0，1）上是增函数．
③∵f′（x）=-3x²+4，且在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上f′（x）＞0，∴f（x）=-x³+4x+2在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是增函数，∴f（x）=-x³+4x+2在（0，1）上是增函数．
④∵f(x)=log

1

2

x在（0，+∞）上是减函数，∴f(x)=log

1

2

x在（0，1）上是减函数，而不是增函数．
所以排除④．
（2）性质A：存在不相等的实数x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
①对于f（x）=sinx，令x₁=1，x₂=-1，则

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（sin1+sin（-1））=0，f（

x1+x2

2

）=f（0）=sin0=0，
∴f（x）=sinx满足性质A．
③对于f（x）=-x³+4x+2，令x₁=1，x₂=-1，则

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

×4=2，f（

x1+x2

2

）=f（0）=2，
∴f（x）=-x³+4x+2满足性质A．
②对于f（x）=x²+2x-1，假设存在不相等的实数x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
则有

1

2

（x₁²+2x₁-1+x₂²+2x₂-1）=(

x1+x2

2

)2+（x₁+x₂）-1
化简得（x₁-x₂）²=0，即x₁=x₂，这与x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=x²+2x-1不满足性质A．
所以只有①③同时满足性质A和性质B．
故选B．

点评：本题需要检验的方面较多，相对比较麻烦，对学生的意志力提出了更高的要求；还应注意：证明存在性问题成立，只需举出一个例子即可；但要证明存在性问题不成立，需严格的逻辑推理．