Question

已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.

(Ⅰ)指出函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;

(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,   

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,

故当点处的切线互相垂直时,有,

当x<0时,

因为,所以 ,所以,,

因此,

(当且仅当,即且时等号成立)

所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.

(Ⅲ)当或时,,故.

当时,的图象在点处的切线方程为

 即 .

当时,的图象在点处的切线方程为

 即 .