Question

已知双曲线的中心在原点，一条渐近线方程为y=

2

3

x，焦点在坐标轴上，两准线之间的距离为

18 13

13

，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：由双曲线的渐近线方程为y=

2

3

x，可设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ(λ≠0)，当λ＞0时，

x2

9λ

-

y2

4λ

=1，焦点在x轴上，当λ＜0时，方程为

y2

-4λ

-

x2

-9λ

=1，利用已知准线之间的距离为

18 13

13

，可求λ，进而可求双曲线的方程

解答：解：∵双曲线的渐近线方程为y=

2

3

x，由题意可设
∴设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ(λ≠0)
当λ＞0时，

x2

9λ

-

y2

4λ

=1，焦点在x轴上，
∴

9λ

13λ

×2=

18 13

13

，
∴λ=1，
∴双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=1
当λ＜0时，方程为

y2

-4λ

-

x2

-9λ

=1，
∴

-4λ

-13λ

×2=

18 13

13

，
∴λ=-

81

16

∴方程为

4y2

81

-

16x2

729

=1
综上所述，双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=1或

4y2

81

-

16x2

729

=1．

点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是根据双曲线的渐近线方程设双曲线方程，此种设法避免讨论焦点的位置．